19223811

Masterseminar Topologie "L^2-Betti Zahlen"

N.N.

Zusätzl. Angaben / Voraussetzungen

Voraussetzungen: Grundwissen in Topologie und Gruppentheorie wird vorausgesetzt.

Kommentar

Die Euler Charakteristik von endlichen CW-Komplexen ist multiplikativ unter endlichen Überlagerungen und sie ist homotopie-invariant. Diese Eigenschaften können von unterschiedlichen Beschreibungen hergeleitet werden:
1. Als alternierende Summe der Anzahlen der Zellen, welche multiplikativ aber nicht homotopie-invariant sind.
2. Als alternierende Summe der Betti Zahlen, welche homotopie-invariant aber nicht multiplikativ sind. Die $n$-te Betti Zahl von $X$ ist die $\mathbb{Q}$-Dimension der Homologie $H_n(X;\mathbb{Q})$ mit rationalen Koeffizienten.
3. Als alternierende Summe der $L^2$-Betti Zahlen, welche die besten Eigenschaften beider Welten haben: sie sind multiplikativ und homotopie-invariant. Die $n$-te $L^2$-Betti Zahl von $X$ ist die von Neumann-Dimension der Homologie $H_n(X;\mathbb{\calN}\pi_1(X))$ mit geeigneten Koeffizienten.

$L^2$-Betti Zahlen sind bedeutsame topologische Invarianten, da sie Hindernisse sind für Abbildungs-Tori und $S^1$-Wirkungen. Sie haben außerdem Anwendungen in der Gruppentheorie, indem man die $L^2$-Betti Zahlen von klassifizierenden Räumen betrachtet. Darüber hinaus stehen $L^2$-Betti Zahlen in Verbindung zu berühmten offenen
Problemen, wie den Hopf und Singer Vermutungen zur Euler Charakteristik von Mannigfaltigkeiten, und der Kaplansky Vermutung zu Nullteilern in Gruppenringen.

Nähere Informationen entnehmen Sie der Homepage des Seminars.

Schließen

Literaturhinweise

This seminar will be an introduction to $L^2$-Betti numbers, following mostly
the book by Holger Kammeyer.

16 Termine

Regelmäßige Termine der Lehrveranstaltung

Do, 10:00 - 12:00 Masterseminar Topologie "L^2-Betti Zahlen" 16 Termine

Do, 16.10.2025 10:00 - 12:00

Masterseminar Topologie "L^2-Betti Zahlen"