Sand, Lehm, Wasser, Mathematik

Lorenzo A. Richards im Havelland

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Sand, Lehm , Wasser und Mathematik
Wasser fließt nicht durch abstrakte Räume.
Wasser fließt nicht durch abstrakte Räume.

Vor den Toren Berlins liegt das Untere Havelland. Als natürliches Überschwemmungsgebiet ist es nicht nur landwirtschaftlich und ökologisch wichtig, sondern auch mathematisch hoch interessant. Es gibt einen regen Austausch zwischen Grund- und Oberflächenwasser, sandige und lehmige Böden wechseln einander ab. Und um das Gebiet nachhaltig nutzen und schützen zu können, braucht man Kenntnisse über diese natürliche Dynamik.

Um 1930 entwickelte der amerikanische Physiker Lorenzo A. Richards – ursprünglich für die Landwirtschaft – ein mathematisches Modell, mit dessen Hilfe man den Wasserdruck im Boden analysieren kann. Nun sind natürliche Umgebungen selten homogen, und Wasser fließt nicht durch abstrakte mathematische Räume, sondern mitunter durch geklüftete und unterschiedlich poröse Böden, von denen man oft nicht weiß, wie durchlässig sie sind. So sind die doppelt nichtlineare Richardsgleichung selbst und die heterogenen Böden des Havellandes mit ihrem Wechsel zwischen Sand und Lehm eine Herausforderung für die Mathematiker. Um sich von dieser Komplexität nicht erschlagen zu lassen, gehen sie schrittweise vor. Ziel ist es, die nichtlinearen mathematischen Probleme des Modells in leichter lösbare Gleichungen zu zerteilen. Dazu wird das Verhalten des Wassers zunächst einmal in den jeweils homogenen Gebieten berechnet. Da das Wasser im Sand aber vor dem Lehm nicht haltmacht, gilt es, außerdem die richtigen Werte an den Übergängen zu ermitteln. Das tut man – mathematisch ausgedrückt – indem man ausgehend von einer Schätzung der Übergangswerte abwechselnd im sandigen, im lehmigen, dann wieder im sandigen Gebiet usw. Näherungslösungen berechnet. Mit jedem Schritt kommt man so dem richtigen Übergangswert näher. Sobald Wasserdruck und Wasserfluss zwischen Sand und Lehm übereinstimmen, hat man diesen Wert gefunden.

Es gibt zwei Möglichkeiten, zu diesem Ergebnis zu kommen: Entweder man füttert den Computer mit einem Algorithmus und schaut zu, wie sich die ausgespuckten Werte schließlich kaum mehr ändern, das heißt, sich einpendeln. Oder man greift zu Papier und Bleistift und macht sich auf den Weg in abstrakte mathematische Räume, um dort in der Theorie das zu beweisen, was man sich vom Computer in der Praxis erhofft. Zum guten Stil anwendungsorientierter Mathematiker gehört es, beide Wege zu beschreiten.

Für einen Anwender spielt es natürlich keine Rolle, welchen Weg nach Rom der Mathematiker gewählt hat. Für ihn ist nur wichtig, welchen Weg das Wasser nimmt und wie schnell es das tut.

Mathematische Verfahren dieser Art nennt man sinnigerweise „Gebietszerlegungsmethoden“. Sie gehören zu einem jungen Forschungszweig, der in den letzten Jahren stark gewachsen ist und als mittlerweile eigenständiger Bereich eine immense Bedeutung innerhalb der numerischen Mathematik erlangt hat.

Doch mit der mathematischen „Gebietszerlegung“ in den Böden allein ist es noch nicht getan – schon gar nicht in einem natürlichen Überschwemmungsgebiet wie dem Unteren Havelland. Für eine weitere Annäherung an die Wirklichkeit muss man den Austausch zwischen Grund- und Oberflächenwasser kennen. Die Richardsgleichung ist ein Modell für die Bewegung des Wassers im Boden. Mit anderen Modellen berechnet man die Bewegung des Oberflächenwassers. Will man nun die Abflussbildung in Flachlandgebieten modellieren, muss man die vorhandenen Modelle durch geeignete Übergangsbedingungen koppeln. So etwas existiert zwar schon, aber die Wege des Wassers sind unübersichtlich, und die Komplexität der natürlichen wie der mathematischen Verhältnisse bietet noch einen reichen Spielraum für die Entwicklung der Algorithmen, vulgo der anwendungsorientierten Lösungsverfahren – und sie bietet eine Menge für die analytische Arbeit, mithin für die Mathematiker, die auch gern einmal etwas beweisen.

Von Heiko Berninger